Nell'enunciare (e nel dimostrare) proprietà e teoremi matematici si fa spesso confusione fra ipotesi e tesi, fra "A implica B", "condizione necessaria e sufficiente", "condizione necessaria ma non sufficiente", "condizione sufficiente ma non necessaria",e la famosa frase "se A implica B, allora <non B> implica <non A>".
Che cosa vogliono dire queste frasi?
Facciamo alcuni esempi, partendo da comuni frasi in italiano di tipo non matematico. Cominciamo con questa.
" Se fa bel tempo, allora esco. "
E' la frase più semplice. Ipotesi: "Se fa bel tempo...". Tesi: "...esco". E' una implicazione semplice. L'ipotesi implica la tesi, ovvero: "se e quando è vera l'ipotesi, allora si sa che è vera la tesi".
Ho fatto un'esempio di questo tipo per aggiungere una semplice considerazione di carattere logico-matematico: quello che proprio non va bene in questa frase è l'aleatorietà dell'ipotesi, ovvero non c'è un modo per dire con oggettività che l'ipotesi sia vera. Che cosa intendo, io, per "bel tempo"?
Attenzione, però: non ho dato nessun tipo di indicazione sul caso in cui non sia vera l'ipotesi, ovvero su che cosa succede se fa brutto tempo. Ovvero, la frase di partenza non implica affatto che "se fa brutto tempo, allora non esco". Si dice allora che sull'ipotesi opposta a quella di partenza (in questo caso, sarebbe "se fa brutto tempo") non sono state considerazioni di nessun tipo: se farà brutto tempo, uscirò o non uscirò. E' una ipotesi non presa in considerazione.
Perdonate l'insistenza, ma da quanto detto discende anche che non vale neanche l'inversione della frase in "Se esco, allora fa bel tempo", appunto perché ho precisato che, non avendo detto nulla sull'ipotesi "brutto tempo", potrei anche essere uscito lo stesso!
Però (e qui facciamo un bel passo in avanti), dalla frase di partenza discende naturalmente un'importantissima conseguenza, che nel nostro esempio si esprime come:
Lo aggiungo solo per chi lo ha già sentito dire, per indicare che è questo un caso a cui si applica la frase: dalla condizione che "A implica B" discende che "non B implica non A" (ma non discende che "non A implica non B", né tanto meno che "B implica A").
Ma rivediamo il tutto con un esempio matematico, proprio banale.
E quel discorso sulle condizioni necessarie e/o sufficienti?
Si dice che "condizione sufficiente affinché io esca è che faccia bel tempo"; ma non è una condizione necessaria, ovvero non è indispensabile che faccia bel tempo, perché potrei anche uscire con il brutto.
O anche: "condizione necessaria perché io non esca è che faccia brutto tempo"; ma non è sufficiente.
E: "condizione sufficiente perché un numero sia divisibile per 2 è che sia multiplo di 4"; ma non è necessario!
E, quindi: "condizione necessaria perché un numero non sia multiplo di 4 è che non sia divisibile per 2", ma non è... sufficiente, esatto!
L'ultimo sforzo, almeno per questo post:
In questo caso, in linguaggio matematico, è bello dire:
"condizione necessaria e sufficiente perché io esca è che faccia bel tempo".
Grazie a tutti ed alla prossima!
Perdonate l'insistenza, ma da quanto detto discende anche che non vale neanche l'inversione della frase in "Se esco, allora fa bel tempo", appunto perché ho precisato che, non avendo detto nulla sull'ipotesi "brutto tempo", potrei anche essere uscito lo stesso!
Però (e qui facciamo un bel passo in avanti), dalla frase di partenza discende naturalmente un'importantissima conseguenza, che nel nostro esempio si esprime come:
" Se non esco, allora fa brutto tempo. "
Lo aggiungo solo per chi lo ha già sentito dire, per indicare che è questo un caso a cui si applica la frase: dalla condizione che "A implica B" discende che "non B implica non A" (ma non discende che "non A implica non B", né tanto meno che "B implica A").
Ma rivediamo il tutto con un esempio matematico, proprio banale.
"Se n è multiplo di 4, allora è divisibile per 2"
Di per sè, direi che è evidente.
L'ipotesi A: "n è multiplo di 4".
La conseguenza B: "allora n è divisibile per 2".
Si dice che "A implica B".
Non vale che "B implica A", ovvero "Se n è divisibile per 2, allora è multiplo di 4" (per esempio, per n = 6).
Non vale che "non A implica non B", ovvero "Se n non è multiplo di 4, allora non è divisibile per 2" (per esempio, per n = 6).
Vale invece che "non B implica non A", ovvero "Se n non è multiplo di 4, allora non è divisibile per 2" (lo vedete?).
Si dice che "condizione sufficiente affinché io esca è che faccia bel tempo"; ma non è una condizione necessaria, ovvero non è indispensabile che faccia bel tempo, perché potrei anche uscire con il brutto.
O anche: "condizione necessaria perché io non esca è che faccia brutto tempo"; ma non è sufficiente.
E: "condizione sufficiente perché un numero sia divisibile per 2 è che sia multiplo di 4"; ma non è necessario!
E, quindi: "condizione necessaria perché un numero non sia multiplo di 4 è che non sia divisibile per 2", ma non è... sufficiente, esatto!
L'ultimo sforzo, almeno per questo post:
"esco se e solo se fal bel tempo".
Questa frase è molto più stringente della precedente. In questa sì che valgono, in un colpo solo, tutte le frasi viste in precedenza, e cioè: "se fa bel tempo esco", "se non fa bel tempo non esco", "se esco, allora fa bel tempo", "se non esco, allora non fa bel tempo".In questo caso, in linguaggio matematico, è bello dire:
"condizione necessaria e sufficiente perché io esca è che faccia bel tempo".
Grazie a tutti ed alla prossima!
