Condizione necessaria e sufficiente

Nell'enunciare (e nel dimostrare) proprietà e teoremi matematici si fa spesso confusione fra ipotesi e tesi, fra "A implica B", "condizione necessaria e sufficiente", "condizione necessaria ma non sufficiente", "condizione sufficiente ma non necessaria",e la famosa frase "se A implica B, allora <non B> implica <non A>".

Che cosa vogliono dire queste frasi?

Facciamo alcuni esempi, partendo da comuni frasi in italiano di tipo non matematico. Cominciamo con questa.

" Se fa bel tempo, allora esco. "

E' la frase più semplice. Ipotesi: "Se fa bel tempo...". Tesi: "...esco". E' una implicazione semplice. L'ipotesi implica la tesi, ovvero: "se e quando è vera l'ipotesi, allora si sa che è vera la tesi".

Ho fatto un'esempio di questo tipo per aggiungere una semplice considerazione di carattere logico-matematico: quello che proprio non va bene in questa frase è l'aleatorietà dell'ipotesi, ovvero non c'è un modo per dire con oggettività che l'ipotesi sia vera. Che cosa intendo, io, per "bel tempo"?

Attenzione, però: non ho dato nessun tipo di indicazione sul caso in cui non sia vera l'ipotesi, ovvero su che cosa succede se fa brutto tempo. Ovvero, la frase di partenza non implica affatto che "se fa brutto tempo, allora non esco". Si dice allora che sull'ipotesi opposta a quella di partenza (in questo caso, sarebbe "se fa brutto tempo") non sono state considerazioni di nessun tipo: se farà brutto tempo, uscirò o non uscirò. E' una ipotesi non presa in considerazione.
Perdonate l'insistenza, ma da quanto detto discende anche che non vale neanche l'inversione della frase in "Se esco, allora fa bel tempo", appunto perché ho precisato che, non avendo detto nulla sull'ipotesi "brutto tempo", potrei anche essere uscito lo stesso!
Però (e qui facciamo un bel passo in avanti), dalla frase di partenza discende naturalmente un'importantissima conseguenza, che nel nostro esempio si esprime come:

" Se non esco, allora fa brutto tempo. "

Lo aggiungo solo per chi lo ha già sentito dire, per indicare che è questo un caso a cui si applica la frase: dalla condizione che "A implica B" discende che "non B implica non A" (ma non discende che "non A implica non B", né tanto meno che "B implica A").

Ma rivediamo il tutto con un esempio matematico, proprio banale.

"Se n è multiplo di 4, allora è divisibile per 2"

Di per sè, direi che è evidente.

L'ipotesi A: "n è multiplo di 4".

La conseguenza B: "allora n è divisibile per 2".

Si dice che "A implica B".

Non vale che "B implica A", ovvero "Se n è divisibile per 2, allora è multiplo di 4" (per esempio, per n = 6).

Non vale che "non A implica non B", ovvero "Se n non è multiplo di  4, allora non è divisibile per 2" (per esempio, per n = 6).

Vale invece che "non B implica non A", ovvero "Se n non è multiplo di 4, allora non è divisibile per 2" (lo vedete?).

E quel discorso sulle condizioni necessarie e/o sufficienti?
Si dice che "condizione sufficiente affinché io esca è che faccia bel tempo"; ma non è una condizione necessaria, ovvero non è indispensabile che faccia bel tempo, perché potrei anche uscire con il brutto.
O anche: "condizione necessaria perché io non esca è che faccia brutto tempo"; ma non è sufficiente.
E: "condizione sufficiente perché un numero sia divisibile per 2 è che sia multiplo di 4"; ma non è necessario!
E, quindi: "condizione necessaria perché un numero non sia multiplo di 4 è che non sia divisibile per 2", ma non è... sufficiente, esatto!

L'ultimo sforzo, almeno per questo post:

"esco se e solo se fal bel tempo".

Questa frase è molto più stringente della precedente. In questa sì che valgono, in un colpo solo, tutte le frasi viste in precedenza, e cioè: "se fa bel tempo esco", "se non fa bel tempo non esco", "se esco, allora fa bel tempo", "se non esco, allora non fa bel tempo".
In questo caso, in linguaggio matematico, è bello dire:
"condizione necessaria e sufficiente perché io esca è che faccia bel tempo".
Grazie a tutti ed alla prossima!

Le equazioni in generale

La parola simbolo della matematica a livello almeno superiore è sicuramente "equazione".

Spesso i ragazzi si sentono chiedere: "Sei bravo in matematica? Si? Allora sai risolvere un'equazione?".

Tenete presente che, in generale, chi ve lo chiede non ne è capace a sua volta, proviamo ad esserne in grado almeno noi.

Un'equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali in cui sono presenti una o più incognite.

Non è una definizione rigorosa, perché in realtà mi piacerebbe dire così:

quando ho un'uguaglianza fra due espressioni contenenti una o più "lettere" che possono essere variabili, e voglio o devo verificare se esistono dei valori che, sostituiti a queste "lettere" rendono l'uguaglianza vera, allora ho davanti a me un'equazione, e se trovo dei valori che, ordinatamente sostituiti a queste "lettere", rendono l'uguaglianza vera, allora ho trovato una soluzione per quell'equazione.

Abituamoci subito a dire "se trovo", perché soluzioni possono non essercene, oppure si potrebbe non essere in grado di trovarne (a volte, né voi, né nessun altro); diciamo anche "ho trovato una soluzione", ma non posso sempre dire di aver risolto l'equazione, perché un'equazione è risolta solo quando le soluzioni, se esistono, le abbiamo trovate tutte. Ma non sempre serve averle tutte tutte...

Possono essere presenti una o più lettere, non tutte sono necessariamente delle incognite, alcune possono essere delle costanti, altre variabili sì, ma non proprio incognite, però dovrebbe apparire sempre chiaro quale o quali sono le incognite. Tenete presente che normalmente sarete voi ad impostare un'equazione per risolvere un problema (scolastico o personale), e quindi sarà ben chiaro l'esistenza dell'incognita.

Vediamo qualche esempio (per semplicità, resto fra le equazioni di primo grado).

3 x - 5 = x + 13

E' una (semplicissima!) equazione di primo grado in x (cioè l'incognita è la x). Per chi ancora non sa come risolverla, anticipo che ha una soluzione, e che questa soluzione è 9. Ma se anche non siete in grado di risolvere equazioni, siete però in grado di verificare che la mia soluzione è corretta, basta sostituire il valore 9 alla x e fare i pochi calcoli. Fatto? No? Capisco, vi siete fidati...

2 x + 5 - x = 7 + x - 2

Questa equazione ha soluzione 1. Ma anche 2. E - 5. Oppure 2 / 3. O radice di 7. Pensate anche voi un numero. Anche quello è una soluzione. Perfetto: va bene tutto. E' una equazione indeterminata.Oppure una identità. E' una uguaglianza sempre vera. Come dire che 3 = 3 o che io sono io.

2 x + 5 - x = 7 + x - 1

Ho fatto un ritocco all'equazione precedente, piccolo ma che cambia totalmente le cose. Fate qualche prova, se proprio volete, ma non troverete nessun valore che renda l'uguaglianza verificata. Questa è una equazione impossibile.
Attenzione! Non confondete equazioni indeterminate con equazioni impossibili! Le prime sono totalmente il contrario delle altre! Le equazioni indeterminate sono sempre vere, quelle impossibili non lo sono mai!

a y + 3 b - a b = a - 3 + 3y

In questo caso, solo in apparenza più complicato, credo si intuisca che l'incognita da determinare sia la y (non è una cosa scontata, ma quando ci sono in ballo x, y, z, sono le più sopettate per il ruolo di incognita, ma non è una cosa obbligatoria. Diciamo che l'equazione ha soluzione b + 1, ovvero sostituendo alla x il valore b + 1 (e facendo i calcoli, ma questa cosa d'ora in poi non la dirò più) l'uguaglianza appare vera. Bene? Insomma... In realtà mi tocca anche discutere (si dice proprio così) il ruolo di a e di b. E allora sì che viene il bello (voi direte senz'altro il contrario): provate infatti a dare ad a il valore 3, ed alla y un valore qualsiasi (1, 7, - 3, ma anche 1 /3, 999,57, radice di 2, ecc.).

Fra qualche giorno, un un nuovo post, vedremo come si risolvono le equazioni di 1° grado.
SCRIVETEMI se volete qualche chiarimento o correzione, o se avete qualche argomento da propormi.