Le equazioni in generale

La parola simbolo della matematica a livello almeno superiore è sicuramente "equazione".

Spesso i ragazzi si sentono chiedere: "Sei bravo in matematica? Si? Allora sai risolvere un'equazione?".

Tenete presente che, in generale, chi ve lo chiede non ne è capace a sua volta, proviamo ad esserne in grado almeno noi.

Un'equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali in cui sono presenti una o più incognite.

Non è una definizione rigorosa, perché in realtà mi piacerebbe dire così:

quando ho un'uguaglianza fra due espressioni contenenti una o più "lettere" che possono essere variabili, e voglio o devo verificare se esistono dei valori che, sostituiti a queste "lettere" rendono l'uguaglianza vera, allora ho davanti a me un'equazione, e se trovo dei valori che, ordinatamente sostituiti a queste "lettere", rendono l'uguaglianza vera, allora ho trovato una soluzione per quell'equazione.

Abituamoci subito a dire "se trovo", perché soluzioni possono non essercene, oppure si potrebbe non essere in grado di trovarne (a volte, né voi, né nessun altro); diciamo anche "ho trovato una soluzione", ma non posso sempre dire di aver risolto l'equazione, perché un'equazione è risolta solo quando le soluzioni, se esistono, le abbiamo trovate tutte. Ma non sempre serve averle tutte tutte...

Possono essere presenti una o più lettere, non tutte sono necessariamente delle incognite, alcune possono essere delle costanti, altre variabili sì, ma non proprio incognite, però dovrebbe apparire sempre chiaro quale o quali sono le incognite. Tenete presente che normalmente sarete voi ad impostare un'equazione per risolvere un problema (scolastico o personale), e quindi sarà ben chiaro l'esistenza dell'incognita.

Vediamo qualche esempio (per semplicità, resto fra le equazioni di primo grado).

3 x - 5 = x + 13

E' una (semplicissima!) equazione di primo grado in x (cioè l'incognita è la x). Per chi ancora non sa come risolverla, anticipo che ha una soluzione, e che questa soluzione è 9. Ma se anche non siete in grado di risolvere equazioni, siete però in grado di verificare che la mia soluzione è corretta, basta sostituire il valore 9 alla x e fare i pochi calcoli. Fatto? No? Capisco, vi siete fidati...

2 x + 5 - x = 7 + x - 2

Questa equazione ha soluzione 1. Ma anche 2. E - 5. Oppure 2 / 3. O radice di 7. Pensate anche voi un numero. Anche quello è una soluzione. Perfetto: va bene tutto. E' una equazione indeterminata.Oppure una identità. E' una uguaglianza sempre vera. Come dire che 3 = 3 o che io sono io.

2 x + 5 - x = 7 + x - 1

Ho fatto un ritocco all'equazione precedente, piccolo ma che cambia totalmente le cose. Fate qualche prova, se proprio volete, ma non troverete nessun valore che renda l'uguaglianza verificata. Questa è una equazione impossibile.
Attenzione! Non confondete equazioni indeterminate con equazioni impossibili! Le prime sono totalmente il contrario delle altre! Le equazioni indeterminate sono sempre vere, quelle impossibili non lo sono mai!

a y + 3 b - a b = a - 3 + 3y

In questo caso, solo in apparenza più complicato, credo si intuisca che l'incognita da determinare sia la y (non è una cosa scontata, ma quando ci sono in ballo x, y, z, sono le più sopettate per il ruolo di incognita, ma non è una cosa obbligatoria. Diciamo che l'equazione ha soluzione b + 1, ovvero sostituendo alla x il valore b + 1 (e facendo i calcoli, ma questa cosa d'ora in poi non la dirò più) l'uguaglianza appare vera. Bene? Insomma... In realtà mi tocca anche discutere (si dice proprio così) il ruolo di a e di b. E allora sì che viene il bello (voi direte senz'altro il contrario): provate infatti a dare ad a il valore 3, ed alla y un valore qualsiasi (1, 7, - 3, ma anche 1 /3, 999,57, radice di 2, ecc.).

Fra qualche giorno, un un nuovo post, vedremo come si risolvono le equazioni di 1° grado.
SCRIVETEMI se volete qualche chiarimento o correzione, o se avete qualche argomento da propormi.