La geometria del televisore (e del tablet, e del cellulare...)

Torno, dopo un po' troppo tempo, a scrivere sul mio blog, per dire che ho acquistato un bel televisore 16:9 da 40".

Se avete ben chiaro che cosa voglia dire questa frase, bene, andate pure avanti col prossimo post. Altrimenti, se volete, fermatevi un attimo e chiedetevi che cosa significhino questi due "elementi":

• 16:9, oppure 16/9, qualcosa che indica il formato dello schermo del televisore
• 40", ovvero 40 pollici, una dimensione dello schermo.

Cominciamo con il parlare del secondo elemento, ovvero della dimensione dello schermo.

Solitamente, queste dimensioni vengono espresse in pollici; il pollice è un'unità di misura che equivale a 2,54 centimetri (circa, ma l'approssimazione è più che sufficente per il nostro scopo).
La misura che viene indicata (nel mio caso, 40 pollici) non indica né l'altezza né la larghezza, bensì la misura della DIAGONALE DELLO SCHERMO. Non tutta la tv, dunque: i bordi ed il piedistallo non vengono considerati, in questo caso; se si vuol sapere lo spazio che occupa l'intero televisore, in questo caso, occorre proprio andarsi a cercare le misure dell'apparecchio, che per fortuna, almeno qui in Italia, vengono indicate proprio in centimetri.

Il mio televisore la quaranta pollici ha dunque uno schermo la cui diagonale misura poco più di un metro.

Un televisore da 56 pollici ha una diagonale da più di 142 centimetri.

Un tablet da 9,7 pollici (l'iPad) ha lo schermo con la diagonale di circa 26 centimetri.

Sembra utile tutto questo? Si? Forse no, perché va bene la misura della diagonale, ma è sicuramente più concreto conoscere le dimensioni principali, ovvero base ed altezza.

E' ovvio che conoscendo la misura della diagonale potremmo calcolare quelle di base ed altezza, ma ci occorre qualcosa in più, ed ecco che entrano in ballo gli altri elementi indicati primma, quelli che indicano il formato dello schermo (16:9 nell'esempio di prima). I due numeri indicano la proporzione che c'è fra la base e l'altezza dello schermo tv. Non ancora, ovviamente le loro misure, ma solo la proporzione che c'è fra la base e l'altezza dello schermo. Nei manuali lo trovate chiamato anche "aspect ratio", tanto per saperlo...

Nell'esempio di prima dunque, se la base è proporzionale a 16, allora l'altezza è proporzionale a 9, ovvero, in parole povere, il televisore è alto un po' più della metà di quanto sia largo. I televisori vecchi avevano il formato 4:3, ovvero la base (proporzionale a 4) è solo un po' più lunga dell'altezza (che infatti è proporzionale a 3). E quindi gli schermi moderni sono molto più "schiacciati" di quelli vecchi, perché c'è molta più differenza fra 16 e 9 di quanta ce ne sia fra 4 e 3.

Al cinema, fra gli altri, si usa il formato 2,39:1, e quindi la base è di molto maggiore rispetto all'altezza. E infatti, proprio per questa differenza di formato, anche coi televisori nuovi si vedono i film con le strisce nere sopra e sotto. E' ovvio che questo avviene per com'è fatta la nostra vista: i nostri occhi sono uno accanto all'altro, e quindi vediamo molto di più da destra a sinistra che dall'alto in basso.

Anche coi tablet ed i cellulari si può fare lo stesso discorso sul formato dello schermo, ma normalmente non si fa perché, essendo lo schermo piuttosto piccolino, lo possiamo valutare a "vista", molto meglio di come possiamo farlo coi "numeretti".

Ritorniamo alla geometria, ovvero calcolare le dimensioni dello schermo; possiamo farlo così:

1. conoscendo le misure di base ed altezza, calcoliamo la dimensione della diagonale, dapprima in centimetri e poi, con una semplice divisione, in pollici (e vedere quindi se la tv che ci hanno venduto è esattamente quella che ci hanno fatto credere);
2. conoscendo la misura della diagonale in pollici, la ricalcoliamo in centimetri con una semplice moltiplicazione, e poi, conoscendo anche il formato, calcoliamo le dimensione della base e dell'altezza (questo secondo procedimento, preparatevi, è un po' più complicato del primo).

Non sto qui a spiegarvi le procedure, sappiate (a meno che non lo sappiate già) che passiamo, stavolta sì, alla geometria vera e propria, e che dobbiamo usare il teorema di...?

Bravi, avete indovinato. Però vi metto lì una tabella con un po' di esempi diciamo standard. E' tutto arrotondato al centimetro, stiamo giocando, i millimetri non ci servono!

Condizione necessaria e sufficiente

Nell'enunciare (e nel dimostrare) proprietà e teoremi matematici si fa spesso confusione fra ipotesi e tesi, fra "A implica B", "condizione necessaria e sufficiente", "condizione necessaria ma non sufficiente", "condizione sufficiente ma non necessaria",e la famosa frase "se A implica B, allora <non B> implica <non A>".

Che cosa vogliono dire queste frasi?

Facciamo alcuni esempi, partendo da comuni frasi in italiano di tipo non matematico. Cominciamo con questa.

" Se fa bel tempo, allora esco. "

E' la frase più semplice. Ipotesi: "Se fa bel tempo...". Tesi: "...esco". E' una implicazione semplice. L'ipotesi implica la tesi, ovvero: "se e quando è vera l'ipotesi, allora si sa che è vera la tesi".

Ho fatto un'esempio di questo tipo per aggiungere una semplice considerazione di carattere logico-matematico: quello che proprio non va bene in questa frase è l'aleatorietà dell'ipotesi, ovvero non c'è un modo per dire con oggettività che l'ipotesi sia vera. Che cosa intendo, io, per "bel tempo"?

Attenzione, però: non ho dato nessun tipo di indicazione sul caso in cui non sia vera l'ipotesi, ovvero su che cosa succede se fa brutto tempo. Ovvero, la frase di partenza non implica affatto che "se fa brutto tempo, allora non esco". Si dice allora che sull'ipotesi opposta a quella di partenza (in questo caso, sarebbe "se fa brutto tempo") non sono state considerazioni di nessun tipo: se farà brutto tempo, uscirò o non uscirò. E' una ipotesi non presa in considerazione.
Perdonate l'insistenza, ma da quanto detto discende anche che non vale neanche l'inversione della frase in "Se esco, allora fa bel tempo", appunto perché ho precisato che, non avendo detto nulla sull'ipotesi "brutto tempo", potrei anche essere uscito lo stesso!
Però (e qui facciamo un bel passo in avanti), dalla frase di partenza discende naturalmente un'importantissima conseguenza, che nel nostro esempio si esprime come:

" Se non esco, allora fa brutto tempo. "

Lo aggiungo solo per chi lo ha già sentito dire, per indicare che è questo un caso a cui si applica la frase: dalla condizione che "A implica B" discende che "non B implica non A" (ma non discende che "non A implica non B", né tanto meno che "B implica A").

Ma rivediamo il tutto con un esempio matematico, proprio banale.

"Se n è multiplo di 4, allora è divisibile per 2"

Di per sè, direi che è evidente.

L'ipotesi A: "n è multiplo di 4".

La conseguenza B: "allora n è divisibile per 2".

Si dice che "A implica B".

Non vale che "B implica A", ovvero "Se n è divisibile per 2, allora è multiplo di 4" (per esempio, per n = 6).

Non vale che "non A implica non B", ovvero "Se n non è multiplo di  4, allora non è divisibile per 2" (per esempio, per n = 6).

Vale invece che "non B implica non A", ovvero "Se n non è multiplo di 4, allora non è divisibile per 2" (lo vedete?).

E quel discorso sulle condizioni necessarie e/o sufficienti?
Si dice che "condizione sufficiente affinché io esca è che faccia bel tempo"; ma non è una condizione necessaria, ovvero non è indispensabile che faccia bel tempo, perché potrei anche uscire con il brutto.
O anche: "condizione necessaria perché io non esca è che faccia brutto tempo"; ma non è sufficiente.
E: "condizione sufficiente perché un numero sia divisibile per 2 è che sia multiplo di 4"; ma non è necessario!
E, quindi: "condizione necessaria perché un numero non sia multiplo di 4 è che non sia divisibile per 2", ma non è... sufficiente, esatto!

L'ultimo sforzo, almeno per questo post:

"esco se e solo se fal bel tempo".

Questa frase è molto più stringente della precedente. In questa sì che valgono, in un colpo solo, tutte le frasi viste in precedenza, e cioè: "se fa bel tempo esco", "se non fa bel tempo non esco", "se esco, allora fa bel tempo", "se non esco, allora non fa bel tempo".
In questo caso, in linguaggio matematico, è bello dire:
"condizione necessaria e sufficiente perché io esca è che faccia bel tempo".
Grazie a tutti ed alla prossima!

Le equazioni in generale

La parola simbolo della matematica a livello almeno superiore è sicuramente "equazione".

Spesso i ragazzi si sentono chiedere: "Sei bravo in matematica? Si? Allora sai risolvere un'equazione?".

Tenete presente che, in generale, chi ve lo chiede non ne è capace a sua volta, proviamo ad esserne in grado almeno noi.

Un'equazione è una uguaglianza fra due espressioni letterali in cui sono presenti una o più incognite.

Non è una definizione rigorosa, perché in realtà mi piacerebbe dire così:

quando ho un'uguaglianza fra due espressioni contenenti una o più "lettere" che possono essere variabili, e voglio o devo verificare se esistono dei valori che, sostituiti a queste "lettere" rendono l'uguaglianza vera, allora ho davanti a me un'equazione, e se trovo dei valori che, ordinatamente sostituiti a queste "lettere", rendono l'uguaglianza vera, allora ho trovato una soluzione per quell'equazione.

Abituamoci subito a dire "se trovo", perché soluzioni possono non essercene, oppure si potrebbe non essere in grado di trovarne (a volte, né voi, né nessun altro); diciamo anche "ho trovato una soluzione", ma non posso sempre dire di aver risolto l'equazione, perché un'equazione è risolta solo quando le soluzioni, se esistono, le abbiamo trovate tutte. Ma non sempre serve averle tutte tutte...

Possono essere presenti una o più lettere, non tutte sono necessariamente delle incognite, alcune possono essere delle costanti, altre variabili sì, ma non proprio incognite, però dovrebbe apparire sempre chiaro quale o quali sono le incognite. Tenete presente che normalmente sarete voi ad impostare un'equazione per risolvere un problema (scolastico o personale), e quindi sarà ben chiaro l'esistenza dell'incognita.

Vediamo qualche esempio (per semplicità, resto fra le equazioni di primo grado).

3 x - 5 = x + 13

E' una (semplicissima!) equazione di primo grado in x (cioè l'incognita è la x). Per chi ancora non sa come risolverla, anticipo che ha una soluzione, e che questa soluzione è 9. Ma se anche non siete in grado di risolvere equazioni, siete però in grado di verificare che la mia soluzione è corretta, basta sostituire il valore 9 alla x e fare i pochi calcoli. Fatto? No? Capisco, vi siete fidati...

2 x + 5 - x = 7 + x - 2

Questa equazione ha soluzione 1. Ma anche 2. E - 5. Oppure 2 / 3. O radice di 7. Pensate anche voi un numero. Anche quello è una soluzione. Perfetto: va bene tutto. E' una equazione indeterminata.Oppure una identità. E' una uguaglianza sempre vera. Come dire che 3 = 3 o che io sono io.

2 x + 5 - x = 7 + x - 1

Ho fatto un ritocco all'equazione precedente, piccolo ma che cambia totalmente le cose. Fate qualche prova, se proprio volete, ma non troverete nessun valore che renda l'uguaglianza verificata. Questa è una equazione impossibile.
Attenzione! Non confondete equazioni indeterminate con equazioni impossibili! Le prime sono totalmente il contrario delle altre! Le equazioni indeterminate sono sempre vere, quelle impossibili non lo sono mai!

a y + 3 b - a b = a - 3 + 3y

In questo caso, solo in apparenza più complicato, credo si intuisca che l'incognita da determinare sia la y (non è una cosa scontata, ma quando ci sono in ballo x, y, z, sono le più sopettate per il ruolo di incognita, ma non è una cosa obbligatoria. Diciamo che l'equazione ha soluzione b + 1, ovvero sostituendo alla x il valore b + 1 (e facendo i calcoli, ma questa cosa d'ora in poi non la dirò più) l'uguaglianza appare vera. Bene? Insomma... In realtà mi tocca anche discutere (si dice proprio così) il ruolo di a e di b. E allora sì che viene il bello (voi direte senz'altro il contrario): provate infatti a dare ad a il valore 3, ed alla y un valore qualsiasi (1, 7, - 3, ma anche 1 /3, 999,57, radice di 2, ecc.).

Fra qualche giorno, un un nuovo post, vedremo come si risolvono le equazioni di 1° grado.
SCRIVETEMI se volete qualche chiarimento o correzione, o se avete qualche argomento da propormi.